Lava bene i friarielli sotto l'acqua corrente. In una pentola capiente, versa un filo d'olio, aggiungi i friarielli, sala leggermente e copri con il coperchio. Lasciali appassire a fiamma media per 5-8 minuti, finché non si saranno ammorbiditi. Nel frattempo, togli il budello alla salsiccia e tagliala a tocchetti. Rosola i tocchetti in una padella a fiamma media per circa 5 minuti, finché non sono ben colorati. Lascia raffreddare sia i friarielli che la salsiccia. Taglia la scamorza a cubetti non troppo piccoli.

In una planetaria con il gancio, versa le due farine, il sale, lo zucchero e il lievito di birra fresco sbriciolato. Inizia a mescolare a velocità media. Aggiungi l'uovo e continua a impastare finché non sarà completamente assorbito. Senza fermare la macchina, versa il latte a filo, lentamente. Quando il latte è incorporato, aggiungi il burro ammorbidito un pezzetto alla volta, aspettando che sia assorbito prima di aggiungere il successivo. Continua a impastare a velocità media finché non otterrai un impasto liscio, elastico e che si stacca dalle pareti della ciotola.

Trasferisci l'impasto su un piano di lavoro leggermente infarinato. Aggiungi la salsiccia raffreddata, i friarielli e i cubetti di scamorza. Impasta delicatamente con le mani per distribuire uniformemente il ripieno nell'impasto, facendo attenzione a non schiacciare troppo i cubetti di formaggio. Imburra generosamente uno stampo da babà (diametro 18 cm in alto, 15 cm alla base, 8 cm altezza). Prendi l'impasto e modellalo a forma di salsicciotto spesso, poi adagialo con cura nello stampo.

Copri lo stampo con pellicola trasparente e lascia lievitare in un luogo tiepido e senza correnti d'aria per almeno un'ora, finché l'impasto non avrà raggiunto il bordo dello stampo. Preriscalda il forno statico a 180 gradi. Togli la pellicola e inforna il babà nella parte bassa del forno. Cuoci per 75 minuti, finché non sarà ben dorato e, se infili uno stecchino al centro, questo uscirà asciutto. Sforna e lascia intiepidire per 10 minuti nello stampo, poi capovolgi su una gratella e rimuovi lo stampo con delicatezza.